Question

【题目】如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，已知AB＝2，EF＝1．

（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；

（II）若BC＝1，求四棱锥F－ABCD的体积．

Answer 1

【答案】（I）见解析;（II）.

【解析】

（I）通过证明，证得平面，由此证得平面平面.（II）矩形所在平面和圆所在平面垂直，点到边的距离即为四棱锥FABCD的高，然后利用锥体体积公式求得四棱锥的体积.

（I）

∵AB为圆O的直径，点F在圆O上

∴AF⊥BF

又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直且它们的交线为AB，CB⊥AB

∴CB⊥圆O所在平面

∴AF⊥BC

又BC、 BF为平面CBF上两相交直线

∴AF⊥平面CBF

又

∴平面DAF⊥平面CBF．

（II）连接OE

∵AB＝2，EF＝1，ABEF

∴OA＝OE＝1，即四边形OEFA为菱形

∴AF＝OA＝OF＝1

∴等边三角形OAF中，点F到边OA的距离为

又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直

∴点F到边OA的距离即为四棱锥F－ABCD的高

∴四棱锥F－ABCD的高

又BC＝1

∴矩形的ABCD的面积SABCD＝

∴