题目内容
【题目】已知,
分别为椭圆
:
的左、右焦点,点
在椭圆
上.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)设直线的斜率为
,直线
与椭圆
交于
,
两点,若点
在第一象限,且
,求
面积的最大值.
【答案】(Ⅰ)的最小值为
; (Ⅱ)12.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)设,由向量数量积的坐标运算求得
,注意椭圆中有
,因此可得最小值;
(Ⅱ)由直线与圆锥曲线相交的弦长公式求得弦长,求出
点坐标,再求得
到直线
的距离即三角形的高,从而得
面积
由基本不等式可得最大值.
试题解析:
(Ⅰ)有题意可知,
,
则,
,
∴,
∵点在椭圆
上,∴
,即
,
∴(
),
∴当时,
的最小值为
.
(Ⅱ)设的方程
,点
,
,
由得
,
令,解得
.
由韦达定理得,
,
由弦长公式得,
由且,得
.
又点到直线
的距离
,
∴
,
当且仅当时,等号成立,
∴面积最大值为12.
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