题目内容
【题目】已知函数f(x)= (a∈R).
(Ⅰ)求f(x)在区间[-1,2]上的最值;
(Ⅱ)若过点P(1,4)可作曲线y=f(x)的3条切线,求实数a的取值范围。
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导得到函数的单调性,根据单调性求得函数的极值和端点值,比较可得函数的最值;(Ⅱ)设切点,进而得直线
的斜率为
,若曲线有3条切线,则方程
有3个实数根, 即方程
有3个根,然后构造函数利用单调性、极值求解。
试题解析:
(Ⅰ)∵ f(x)=
,
由解得
或
;
由解得
,
又,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
又 ,
∴最大值是
,最小值是
.
(Ⅱ) 设切点
∴直线的斜率为
,
整理得,
由题意知此方程应有3个解.
令,
∴,
由解得
或
,由
解得
,
∴ 函数在
,
上单调递增,在
上单调递减.
∴ 当时,
有极大值,且极大值为
;
当时,
有极小值,且极小值为
;
要使得方程有3个根,
则,
解得,
∴ 实数a的取值范围为.
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