Question

【题目】设函数f（x）= ，其中a∈R．
（1）若a=1，f（x）的定义域为区间[0，3]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）的定义域为区间（0，+∞），求a的取值范围，使f（x）在定义域内是单调减函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= = =a﹣ ，

设x1，x2∈R，则f（x1）﹣f（x2）= ﹣

= ．

当a=1时，f（x）=1﹣ ，设0≤x1＜x2≤3，

则f（x1）﹣f（x2）= ，

又x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在[0，3]上是增函数，

∴f（x）max=f（3）=1﹣ = ，f（x）min=f（0）=1﹣ =﹣1

（2）解：设x1＞x2＞0，则x1﹣x2＞0，x1+1＞0，x2+1＞0．

若使f（x）在（0，+∞）上是减函数，只要f（x1）﹣f（x2）＜0，而f（x1）﹣f（x2）= ，

∴当a+1＜0，即a＜﹣1时，有f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2）．

∴当a＜﹣1时，f（x）在定义域（0，+∞）内是单调减函数

【解析】由于本题两个小题都涉及到函数的单调性的判断，故可先设x1 ， x2∈R，得到f（x1）﹣f（x2）差，将其整理成几个因子的乘积（1）将a=1的值代入，判断差的符号得出函数的单调性，即可确定函数在区间[0，3]的最大值，计算出结果即可（2）由于函数是定义域（0，+∞）是减函数，设x1＞x2＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，由此不等式即可得出参数的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的值域和函数单调性的性质的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题．