Question

【题目】设函数f（x）的定义域是（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（ ）的值；
（2）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出你的证明；
（3）解不等式f（x2）＞f（8x﹣6）﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=1，则可得f（1）=0，

再令x=2，y= ，得f（1）=f（2）+f（ ），故f（ ）=﹣1

（2）解：设0＜x1＜x2，则f（x1）+f（ ）=f（x2）

即f（x2）﹣f（x1）=f（ ），

∵ ＞1，故f（ ）＞0，即f（x2）＞f（x1）

故f（x）在（0，+∞）上为增函数

（3）解：由f（x2）＞f（8x﹣6）﹣1得f（x2）＞f（8x﹣6）+f（ ）=f[ （8x﹣6）]，

故得x2＞4x﹣3且8x﹣6＞0，解得解集为{x| ＜x＜1或x＞3}

【解析】（1）由题条件知若能求出f（1）的值，再由1=2× 即可得到求得f（ ）的值；（2）题设中有x＞1时，f（x）＞0，故可令0＜x1＜x2 ， 由 的恒等变形及题设中的恒等式得到f（x1）+f（ ）=f（x2），由此问题得证．做此题时要注意做题步骤，先判断再证明；（3）由（2）的结论，利用单调性直接将抽象不等式转化为一般不等式求解即可