Question

1．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C₁上的点M（2，$\sqrt{3}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$．θ=$\frac{π}{4}$与曲线C₂交于点D（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（1）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）是曲线C₁上的两点，求$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）将曲线C₁上的点M（2，$\sqrt{3}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$．代入曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），即可解得：a，b．即可得出普通方程．设圆C₂的半径R，则圆C₂的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）解得R可得圆C₂的方程为：ρ=2cosθ，即可化为直角坐标方程．
（2）将A（ρ₁，θ），Β（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入C₁得：$\frac{{{ρ_1}^2{{cos}^2}θ}}{16}+\frac{{{ρ_1}^2{{sin}^2}θ}}{4}=1$，$\frac{{ρ}_{2}^{2}si{n}^{2}θ}{16}+\frac{{ρ}_{2}^{2}co{s}^{2}θ}{4}=1$代入$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$即可得出．

解答 解：（1）将曲线C₁上的点M（2，$\sqrt{3}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$．
代入曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），得：$\left\{\begin{array}{l}{2=acos\frac{π}{3}}\\{\sqrt{3}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴曲线C₁的方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），即：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
设圆C₂的半径R，则圆C₂的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）
代入得：$\sqrt{2}$=2R×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴R=1
∴圆C₂的方程为：ρ=2cosθ即：（x-1）²+y²=1．
（2）将A（ρ₁，θ），Β（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入C₁得：$\frac{{{ρ_1}^2{{cos}^2}θ}}{16}+\frac{{{ρ_1}^2{{sin}^2}θ}}{4}=1$，
∴$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=（$\frac{co{s}^{2}θ}{16}+\frac{si{n}^{2}θ}{4}$）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{16}+\frac{co{s}^{2}θ}{4}$）=$\frac{5}{16}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、圆的标准方程、椭圆的方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．