题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（2，0），且离心率为
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点N（
2
，0）且斜率为
6
3
的直线l与椭圆C交于A，B两点，求证：
OA
•
OB
=0．
（Ⅰ）由题意可知，
a=2
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得
a=1，b=1
c=
3
，
∴椭圆的方程为
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意可得直线l的方程为：y=
6
3
(x-
2
)．
l联立
y=
6
3
(x-
2
)
x2
4
+y2=1
消去y得：11x2-16
2
x+4=0，
∴x1+x2=
16
2
11
，x1x2=
4
11
．
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+
2
3
(x1-
2
)(x2-
2
)=
5
3
x1x2-
2
2
3
(x1+x2)+
4
3
=
20
33
-
64
33
+
4
3
=0．
∴
OA
•
OB
=0．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．
（I）求与的值；
（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．
已知抛物线C：y2=4x，过点A（x0，0）（其中x0为常数，且x0＞0）作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）；
（1）设点Q关于x轴的对称点为D，直线DP交x轴于点B，求证：B为定点；
（2）若x0=1，M1，M2，M3为抛物线C上的三点，且△M1M2M3的重心为A，求线段M2M3所在直线的斜率的取值范围．
已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-
3
，0)，右顶点为D（2，0），设点A（1，
1
2
）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．
已知椭圆C的中心为坐标原点，离心率为
2
2
，直线?与椭圆C相切于M点，F1、F2为椭圆的左右焦点，且|MF1|+|MF2|=2
2
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线m过F1点，且与椭圆相交于A、B两点，|AF2|+|BF2|=
8
2
3
，求直线m的方程．
若动圆过定点A（-3，0）且和定圆（x-3）2+y2=4外切，则动圆圆心P的轨迹为（　　）
A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．双曲线一支
已知点F（1，0），直线L：x=-1，P为平面上的动点，过点P作直线L的垂线，垂足为Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有
FA
•
FB
＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
如图，双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e=______；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1
S2
=______．
已知动点A在直线l：x=1上，点C的坐标为（-1，0），经过点A垂直于直线l的直线，交线段AC的垂直平分线于点P．求点P的轨迹．

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