题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)过点(2,0),且离心率为
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点N(
2
,0)且斜率为
6
3
的直线l与椭圆C交于A,B两点,求证:
OA
OB
=0.
(Ⅰ)由题意可知,
a=2
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
,解得
a=1,b=1
c=
3

∴椭圆的方程为
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意可得直线l的方程为:y=
6
3
(x-
2
)

l联立
y=
6
3
(x-
2
)
x2
4
+y2=1
消去y得:11x2-16
2
x+4=0

x1+x2=
16
2
11
,x1x2=
4
11

OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+
2
3
(x1-
2
)(x2-
2
)
=
5
3
x1x2
-
2
2
3
(x1+x2)
+
4
3
=
20
33
-
64
33
+
4
3
=0.
OA
OB
=0
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