题目内容
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)过点(2,0),且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点N(
,0)且斜率为
的直线l与椭圆C交于A,B两点,求证:
•
=0.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点N(
2 |
| ||
3 |
OA |
OB |
(Ⅰ)由题意可知,
,解得
,
∴椭圆的方程为
+y2=1.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意可得直线l的方程为:y=
(x-
).
l联立
消去y得:11x2-16
x+4=0,
∴x1+x2=
,x1x2=
.
∴
•
=x1x2+y1y2=x1x2+
(x1-
)(x2-
)=
x1x2-
(x1+x2)+
=
-
+
=0.
∴
•
=0.
|
|
∴椭圆的方程为
x2 |
4 |
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意可得直线l的方程为:y=
| ||
3 |
2 |
l联立
|
2 |
∴x1+x2=
16
| ||
11 |
4 |
11 |
∴
OA |
OB |
2 |
3 |
2 |
2 |
5 |
3 |
2
| ||
3 |
4 |
3 |
20 |
33 |
64 |
33 |
4 |
3 |
∴
OA |
OB |
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