题目内容

已知椭圆C的中心为坐标原点,离心率为
2
2
,直线?与椭圆C相切于M点,F1、F2为椭圆的左右焦点,且|MF1|+|MF2|=2
2

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线m过F1点,且与椭圆相交于A、B两点,|AF2|+|BF2|=
8
2
3
,求直线m的方程.
(1)∵椭圆的离心率为
2
2
|MF1|+|MF2|=2
2

c
a
=
2
2
2a=2
2

a=
2
,c=1
∴b=1
∴椭圆C的标准方程为
x2
2
+y2=1

(2)由(1)知,F1(-1,0),设直线m的方程为x=my-1
代入椭圆方程可得(m2+2)y2-2my-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=
2m
m2+2
y1y2=
-1
m2+2

∴|AB|=
1+m2
|y1-y2|
=
1+m2
(
2m
m2+2
)2-4•
-1
m2+2

|AF2|+|BF2|=
8
2
3

∴|AB|=4
2
-
8
2
3
=
4
2
3

1+m2
(
2m
m2+2
)
2
-4•
-1
m2+2
=
4
2
3

∴m=±1
∴直线m的方程为y=±(x+1)
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