题目内容
已知点F(1,0),直线L:x=-1,P为平面上的动点,过点P作直线L的垂线,垂足为Q,且
•
=
•
.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有
•
<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
QP |
QF |
FP |
FQ |
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有
FA |
FB |
(1)设P的坐标为(x,y),则Q(-1,y),可得
=(x+1,0),
=(2,-y),
=(x-1,y),
=(-2,y),
∵
•
=
•
,
∴(x+1)•2=(x-1)(-2)+y2,化简得y2=4x,
即动点P的轨迹C的方程为y2=4x.
(2)设l的方程为x=ty+m,过点M(m,0)(m>0)的直线l与
曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
由
消去x,得y2-4ty-4m=0.…(*)
则y1、y2是方程(*)的两根.
∴△=16(t2+m)>0,且
①
又∵
=(x1-1,y1),
=(x2-1,y2),
∴
•
<0,可得(x1-1)(x2-1)+y1y2<0,即x1x2-(x1-x2)+1+y1y2<0…②
由于x1x2=
•
,代入不等式②可得:
•
+y1y2-(
+
)+1<0,
化简得
+y1y2-
[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0…③
由①式,化简不等式③得m2-6m+1<4t2,…④
对任意实数t,不等式4t2≥0恒成立,
∴不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,
解之得3-2
<m<3+2
.
由此可得:存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,
都有
•
<0,且m的取值范围是(3-2
,3+2
).
QP |
QF |
FP |
FQ |
∵
QP |
QF |
FP |
FQ |
∴(x+1)•2=(x-1)(-2)+y2,化简得y2=4x,
即动点P的轨迹C的方程为y2=4x.
(2)设l的方程为x=ty+m,过点M(m,0)(m>0)的直线l与
曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
由
|
则y1、y2是方程(*)的两根.
∴△=16(t2+m)>0,且
|
又∵
FA |
FB |
∴
FA |
FB |
由于x1x2=
y12 |
4 |
y22 |
4 |
| ||
4 |
| ||
4 |
| ||
4 |
| ||
4 |
化简得
(
| ||
16 |
1 |
4 |
由①式,化简不等式③得m2-6m+1<4t2,…④
对任意实数t,不等式4t2≥0恒成立,
∴不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,
解之得3-2
2 |
2 |
由此可得:存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,
都有
FA |
FB |
2 |
2 |
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