题目内容

已知点F(1,0),直线L:x=-1,P为平面上的动点,过点P作直线L的垂线,垂足为Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有
FA
FB
<0
?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)设P的坐标为(x,y),则Q(-1,y),可得
QP
=(x+1,0),
QF
=(2,-y),
FP
=(x-1,y),
FQ
=(-2,y),
QP
QF
=
FP
FQ

∴(x+1)•2=(x-1)(-2)+y2,化简得y2=4x,
即动点P的轨迹C的方程为y2=4x.
(2)设l的方程为x=ty+m,过点M(m,0)(m>0)的直线l与
曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
x=ty+m
y2=4x
消去x,得y2-4ty-4m=0.…(*)
则y1、y2是方程(*)的两根.
∴△=16(t2+m)>0,且
y1+y2=4t
y1y2=-4m

又∵
FA
=(x1-1,y1),
FB
=(x2-1,y2)

FA
FB
<0
,可得(x1-1)(x2-1)+y1y2<0,即x1x2-(x1-x2)+1+y1y2<0…②
由于x1x2=
y12
4
y22
4
,代入不等式②可得:
y21
4
y22
4
+y1y2-(
y21
4
+
y22
4
)+1<0

化简得
(
y1
y2)
2
16
+y1y2-
1
4
[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0
…③
由①式,化简不等式③得m2-6m+1<4t2,…④
对任意实数t,不等式4t2≥0恒成立,
∴不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,
解之得3-2
2
<m<3+2
2

由此可得:存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,
都有
FA
FB
<0
,且m的取值范围是(3-2
2
,3+2
2
)
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