Question

6．已知实数数列{a_n}满足：a_n+2=|a_n+1|-a_n（n=1，2，…），a₁=a，a₂=b，记集合M={a_n|n∈N^*}．
（Ⅰ）若a=1，b=2，用列举法写出集合M；
（Ⅱ）若a＜0，b＜0，判断数列{a_n}是否为周期数列，并说明理由；
（Ⅲ）若a≥0，b≥0，且a+b≠0，求集合M的元素个数的最小值．

Answer 1

分析 （I）由a₁=a，a₂=b，a_n+2=|a_n+1|-a_n，可得：a₃=1，a₄=1，a₅=0，a₆=1，a₇=1，a₈=0．当n≥5时，a_n+3=a_n．即可得出．
（II）a＜0，b＜0，a_n+2=|a_n+1|-a_n，可得数列的前11项分别为：a，b，-b-a，-a-2b，-b，a+b，-a，-2a-b，-a-b，a，b，…，a₁₀=a₁，a₁₁=a₂．
即可得出a_n+9=a_n．
（III）对a，b分类讨论：
①若0＜a＜b，则数列的前5项为a，b，b-a，-a，2a-b，中至少有4项不相同；
②若a＞b＞0，则数列的前4项为a，b，b-a，a-2b，对a-2b分类讨论即可得出；
③若0＜a=b，或a＞0，b=0，或a=0，b＞0．则由数列的前7项可知：数列中至少有4项0，-a，a，2a，或0，-b，b，2b不相同．

解答 解：（I）∵a₁=a，a₂=b，a_n+2=|a_n+1|-a_n，
∴a₃=2-1=1，a₄=|a₃|-a₂=-1，a₅=|a₄|-a₃=0，a₆=|a₅|-a₄=0-（-1）=1，a₇=|a₆|-a₅=1-0=1，a₈=|a₇|-a₆=0．
∴当n≥5时，a_n+3=a_n．
∴M={1，2，-1，0}．
（II）a＜0，b＜0，a_n+2=|a_n+1|-a_n，
∴数列的前11项分别为：a，b，-b-a，-a-2b，-b，a+b，-a，-2a-b，-a-b，a，b，…，a₁₀=a₁，a₁₁=a₂．
∴a_n+9=a_n．∴数列{a_n}是周期数列．a₁=a_9n+1=a，a₂=a_9n+2=b．其最小周期为9．
（III）对a，b分类讨论：
①若0＜a＜b，则数列的前5项为a，b，b-a，-a，2a-b，中至少有4项不相同；
②若a＞b＞0，则数列的前4项为a，b，b-a，a-2b，当a-2b≥0时，数列的第五项与第六项为：2a-3b，a-b；
当a-2b＜0时，数列的第五项与第六项为：b，-a+3b；数列中至少有4项不相同．
③若0＜a=b，或a＞0，b=0，或a=0，b＞0．则由数列的前7项可知：数列中至少有4项0，-a，a，2a，或0，-b，b，2b不相同．
综上，集合M的元素的个数不小于4，又由 （1）可知：当a=1，b=2时，集合M的元素个数为4，
∴集合M的元素个数的最小为4．

点评 本题考查了数列的递推关系、数列的周期性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．