Question

7．变量x，y 满足$\left\{\begin{array}{l}y≥-1\\ x-y≥2\\ 3x+y≤14\end{array}\right.$，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，实数a的集合是（　　）

• A． {-3，0 }
• B． { 3，-1}
• C． { 0，1 }
• D． {-3，0，1 }

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．

解答 解：不等式对应的平面区域如图：
由z=ax+y得y=-ax+z，
若a=0时，直线y=-ax+z=z，
此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．
若-a＞0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=-ax+z与y=x-2平行，
此时-a=1，解得a=-1．
若-a＜0，则直线y=-ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=-ax+z与y=-3x+14平行，
此时-a=-3，解得a=3．
综上满足条件的a=3或a=-1，
故实数a的取值集合是{3，-1}，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据．