题目内容
(本小题满分18分)已知数列｛an｝、｛bn｝、｛cn｝的通项公式满足bn=an+1-an，cn=bn+1-bn（n∈N*?），若数列｛bn｝是一个非零常数列，则称数列｛an｝是一阶等差数列；若数列｛cn｝是一个非零常数列，则称数列｛an｝是二阶等差数列?(1)试写出满足条件a１＝１,b1=1，cn=1（n∈N*?）的二阶等差数列｛an｝的前五项；(2)求满足条件(1)的二阶等差数列｛an｝的通项公式an；(3)若数列｛an｝首项a１＝２，且满足cn-bn+1+3an＝-2n+1（n∈N*?），求数列｛an｝的通项公式
（1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11（2）an＝(n2-n+2)/2 （3）an=4n-2n
（1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11-----4分
（2）依题意bn+1-bn=cn=1，n=1，2，3，…
所以bn=（bn-bn-1）＋（bn-1-bn-2）＋（bn-2-bn-3）＋…+（b2-b1）+b1=1+1+1+…+1="n " ---6分
又an+1-an=bn＝n，n=1，2，3，…所以an＝（an-an-1）＋（an-1-an-2）＋（an-2-an-3）＋…+（a2-a1）＋a１
=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n2-n+2)/2 --10分
（3）由已知cn-bn+1＋３an= -2n+1，可得bn+1-bn-bn+1+3an＝-2n+1，即bn-3an=2n+1，∴an+1=4an+2n+1．-12分
解法一：整理得：an+1＋２n+1=4（an+2n），-------15分
因而数列｛an+2n｝是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
∴an+2n＝4·4n-1＝４n，即an=4n-2n．（18分）
解法二：在等式an+1＝4an+2n+1两边同时除以2n+1得：an+1/２n+1=2·an/2n＋１．----15分
令kn=an/2n，则kn+1＝２kn+1，即kn+1＋１＝２（kn+1）
故数列｛kn+1｝是首项为2，公比为2的等比数列所以kn+1=2·2n-1＝２n，即kn=2n-1．
∴an=2nkn=2n（２n-1）=4n-2n．-------18分
解法三：∵a１＝２，∴a2＝１２＝２２×（2２-1），a3＝５６＝２３×（２３-1），a4＝３２＝２４×（２４-1）
猜想：an=2n（2n-1）＝４n-2n． ------15分
下面用数学归纳法证明如下：（i）当n=1时，a１＝２＝4-2，猜想成立；
（ii）假设n=k时，猜想成立，即ak=4k-2k．那么当n=k+1时，ak+1＝４ak+2k+1＝４（4k-2k）＋２k+1="4" k+1-2 k+1，结论也成立∴由（i）、（ii）可知，an=4n-2n．----18分
（2）依题意bn+1-bn=cn=1，n=1，2，3，…
所以bn=（bn-bn-1）＋（bn-1-bn-2）＋（bn-2-bn-3）＋…+（b2-b1）+b1=1+1+1+…+1="n " ---6分
又an+1-an=bn＝n，n=1，2，3，…所以an＝（an-an-1）＋（an-
=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n2-n+2)/2 --10分
（3）由已知cn-bn+1＋３an= -2n+1，可得bn+1-bn-bn+1+3an＝-2n+1，即bn-3an=2n+1，∴an+1=4an+2n+1．-12分
解法一：整理得：an+1＋２n+1=4（an+2n），-------15分
因而数列｛an+2n｝是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
∴an+2n＝4·4n-1＝４n，即an=4n-2n．（18分）
解法二：在等式an+1＝4an+2n+1两边同时除以2n+1得：an+1/２n+1=2·an/2n＋１．----15分
令kn=an/2n，则kn+1＝２kn+1，即kn+1＋１＝２（kn+1）
故数列｛kn+1｝是首项为2，公比为2的等比数列所以kn+1=2·2n-1＝２n，即kn=2n-1．
∴an=2nkn=2n（２n-1）=4n-2n．-------18分
解法三：∵a１＝２，∴a2＝１２＝２２×（2２-1），a3＝５６＝２３×（２３-1），a4＝３２＝２４×（２４-1）
猜想：an=2n（2n-1）＝４n-2n． ------15分
下面用数学归纳法证明如下：（i）当n=1时，a１＝２＝4-2，猜想成立；
（ii）假设n=k时，猜想成立，即ak=4k-2k．那么当n=k+1时，ak+1＝４ak+2k+1＝４（4k-2k）＋２k+1="4" k+1-2 k+1，结论也成立∴由（i）、（ii）可知，an=4n-2n．----18分
练习册系列答案
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+
的图象通过原点，对称轴为
，
是
的导函数，且
.
满足
，且
，求数列
，
，是否存在自然数M,使得当
时
恒成立?若存在,求出最小的M;若不存在,说明理由.
，求数列{bn}的前n项和Sn 
分割成
个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n="2," 3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为
，则有
，
，… ，
.
点,点A1(x1,0),A2(x
,0),…，An(xn,0),…顺次为x轴上的点,其中x1=a（0＜a≤1).对于任意n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形.(1)求数列{yn}的通项公式，并证明它为等差数列；(2)求证：x
- x
是常数，并求数列{ x
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列.
，是否存在
，有
说明理由；
,
,并说明理由；
试确定所有的
，使数列
中，
且点
在直线
上．
的通项公式；
求函数
的最小值；
表示数列
的前
项和，
．
对任意的
满足
，且
，那么
等于（ ）
