题目内容

(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
已知是公差为的等差数列,是公比为的等比数列.
(1)      若,是否存在,有说明理由;
(2)      找出所有数列,使对一切,,并说明理由;
(3)      若试确定所有的,使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项,请证明.
(1)由,                       ……2分
整理后,可得为整数,
不存在,使等式成立.                          ……5分
(2)解法一 若,       (*)
(i)若
为非零常数列,为恒等于1的常数列,满足要求.……7分
(ii)若,(*)式等号左边取极限得(*)式等号右边只有当时,才可能等于1,此时等号左边是常数,,矛盾.
综上所述,只有当为非零常数列,为恒等于1的常数列,满足要求.                                                ……10分
解法二 设,若,对都成立,且为等比数列,则,对都成立,即
,对都成立,……7分
(i)若.
(ii)若,则
综上所述,,使对一切. ……10分
(3)


           ……13分
,……15分
由二项展开式可得整数,使得

存在整数满足要求.
故当且仅当,命题成立.                              ……18分
说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分)
为偶数,则为偶数,但为奇数.
故此等式不成立,一定为奇数.                        ……1分


           当为偶数时,存在,使成立,                 ……1分
 
也即
由已证可知,当为偶数即为奇数时,存在成立,……2分

也即,而不是5的倍数,所要求的不存在,
故不是所有奇数都成立.                                       ……2分
⑴知道了数列通项,可以把表达出来,因为,看是否满足条件;
⑵写出两个数列的通项,根据公差的取值进行讨论;
⑶由题意可知,数列的通项可以确定,设连续的项的的首项,可以求出这项的和,让其等于数列的第k项,建立方程,因为,从这里入手进行计算.
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