题目内容
【题目】已知函数
.
(1)若,试判断函数
的零点个数;
(2)若函数在
上为增函数,求整数
的最大值.
(可能要用到的数据: ,
,
)
【答案】(1)函数在
上的零点有且只有一个(2)整数
的最大值为6
【解析】试题分析: 求导,由
则
恒成立,则
在
上为增函数,由
,
,可以证明
在
上的零点个数
已知函数为增函数,则其导函数在其定义区间上恒大于等于零,可以求得
所满足的不等式
,要使其恒成立则必须
,再利用求导,求得函数的
的最小值的取值范围,即可求得整数
的最大值
解析:(1)因为,易知
在
上为增函数,则
,故函数
在
上为增函数,又
,
,所以函数
在
上的零点有且只有一个.
(2)因为,由题意
在
上恒成立,因为
显然成立,故只需要
在
上恒成立.
令,则
,
因为,
由(1)知在
上为增函数,
故函数在
有唯一的零点记为
.
,
,
则,
,
则当,
,
在
为减函数,
则当,
,
在
为增函数,
故当时,
有最小值
,
令,
则有最小值
,
因为,则
有最小值大约在6.17~6.4之间,故整数
的最大值为6.
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