Question

【题目】已知函数f（x）=x4lnx﹣a（x4﹣1），a∈R．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）f（x）的极小值为φ（a），当a＞0时，求证： ．（e=2.71828…为自然对数的底）

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=4x3lnx+x3﹣4ax3．

则f'（1）=1﹣4a．又f（1）=0，

所以，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（1﹣4a）（x﹣1）．

（2）解：由（1）得f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）．

①当 时，因为y=4lnx+1﹣4a为增函数，所以当x≥1时，4lnx+1﹣4a≥4ln1+1﹣4a=1﹣4a＞0，

因此f'（x）≥0．

当且仅当 ，且x=1时等号成立，

所以f（x）在（1，+∞）上为增函数．

因此，当x≥1时，f（x）≥f（1）=0．

所以， 满足题意．

②当 时，由f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）=0，得 ，

解得 ．

因为 ，所以 ，所以 ．

当 时，f'（x）＜0，因此f（x）在 上为减函数．

所以当 时，f（x）＜f（1）=0，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是 ．

（3）解：由f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）=0，得 ， ．

当 时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当 时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．

所以f（x）的极小值 =

由φ'（a）=1﹣e4a﹣1=0，得 ．

当 时，φ'（a）＞0，φ（a）为增函数；当 时，φ'（a）＜0，φ（a）为减函数．

所以 ．

= = ．

下证：a＞0时， ．

，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

令 ，则 ．

当 时，r'（a）＜0，r（a）为减函数；当 时，r'（a）＞0，r（a）为增函数．所以 ，即 ．

所以 ，即 ．所以 ．

综上所述，要证的不等式成立．

【解析】（1）求出导函数，利用导函数的概念求切线的斜率，点斜式写出方程即可；（2）f（x）≥0恒成立，只需求出f（x）的最小值大于等于零即可，求出导函数，对参数a分类讨论，讨论是否满足题意；（3）根据导函数求出函数的极小值φ（a），对极小值进行求导，利用导函数得出极小值的最大值等于零，右右不等式得证，再利用构造函数的方法，通过导函数证明左式成立．