题目内容
6．设定义在区间（-a，a）上的函数$f（x）={log_{2015}}\frac{1+mx}{1-2015x}$是奇函数（a，m∈R，m≠-2015），则ma的取值范围是（ ）| A． | $（1，{2015^{\frac{1}{2015}}}]$ | B． | $（0，{2015^{\frac{1}{2015}}}]$ | C． | $（1，{2015^{\frac{1}{2015}}}）$ | D． | $（0，{2015^{\frac{1}{2015}}}）$ |
分析 定义在区间（-a，a）上的函数$f（x）={log_{2015}}\frac{1+mx}{1-2015x}$是奇函数，利用f（-x）+f（x）=0，化为$\frac{（1-mx）（1+mx）}{（1+2015x）（1-2015x）}$=1，m≠-2015，解得m=2015．令$\frac{1+2015x}{1-2015x}$＞0，解得x，kd $0＜a≤\frac{1}{2015}$．即可得出．
解答 解：∵定义在区间（-a，a）上的函数$f（x）={log_{2015}}\frac{1+mx}{1-2015x}$是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，化为$lo{g}_{2015}\frac{1-mx}{1+2015x}$+$lo{g}_{2015}\frac{1+mx}{1-2015x}$=0，
∴$\frac{（1-mx）（1+mx）}{（1+2015x）（1-2015x）}$=1，
∵m≠-2015，
∴m=2015．
∴f（x）=$lo{g}_{2015}\frac{1+2015x}{1-2015x}$，
令$\frac{1+2015x}{1-2015x}$＞0，
解得$-\frac{1}{2015}＜x＜\frac{1}{2015}$，
∴$0＜a≤\frac{1}{2015}$．
∴ma=2015a取值范围是$（1，201{5}^{\frac{1}{2015}}）$．
故选：A．
点评 本题考查了函数奇偶性求值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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1．下列函数f（x）与g（x）是相同函数的是（ ）
| A． | $f（x）=\sqrt{{{（x-1）}^2}}$；g（x）=x-1 | B． | $f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{x-1}$；g（x）=x+1 | ||
| C． | f（x）=lg（x+1）+lg（x-1）；g（x）=lg（x2-1） | D． | f（x）=ex+1．ex-1；g（x）=e2x |