Question

16．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（\frac{1}{2}）}^x}，x≥4}\\{f（x+1），x＜4}\end{array}}$，则$f（2-{log_{\frac{1}{2}}}3）$=$\frac{1}{24}$．

Answer 1

分析 由已知条件利用对数运算法则和分段函数性质得$f（2-{log_{\frac{1}{2}}}3）$=f（2+log₂3）=f（3+log₂3）=$（\frac{1}{2}）^{3+lo{g}_{2}3}$，由此利用对数性质、换底公式和有理数指数幂运算法则能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（\frac{1}{2}）}^x}，x≥4}\\{f（x+1），x＜4}\end{array}}$，
∴$f（2-{log_{\frac{1}{2}}}3）$=f（2+log₂3）=f（3+log₂3）=$（\frac{1}{2}）^{3+lo{g}_{2}3}$
=$（\frac{1}{2}）^{3}×（\frac{1}{2}）^{lo{g}_{2}3}$
=$\frac{1}{8}×\frac{1}{3}$
=$\frac{1}{24}$．
故答案为：$\frac{1}{24}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则和对数换底公式及函数性质的合理运用．