题目内容

14.(1)已知正数a,b满足a+4b=4,求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值.
(2)求函数f(k)=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+6}$的最大值.

分析 (1)运用乘1法,可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$(a+4b)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$)=$\frac{1}{4}$(5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$),再由基本不等式即可得到最小值;
(2)令t=$\sqrt{2+{k}^{2}}$(t≥$\sqrt{2}$),则g(t)=$\frac{t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$,再由基本不等式即可得到最大值.

解答 解:(1)由a,b>0,且a+4b=4,
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$(a+4b)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$)=$\frac{1}{4}$(5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$)
≥$\frac{1}{4}$(5+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{4b}{a}}$)=$\frac{9}{4}$,
当且仅当a=2b=$\frac{4}{3}$时取得最小值,
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$;
(2)令t=$\sqrt{2+{k}^{2}}$(t≥$\sqrt{2}$),
则g(t)=$\frac{t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}$=$\frac{1}{4}$,
当且仅当t=2,即k=$±\sqrt{2}$时,取得等号,
即有f(k)的最大值为$\frac{1}{4}$.

点评 本题考查基本不等式的运用:求最值,注意乘1法和换元法的运用,以及满足的条件:一正二定三等,属于中档题.

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