Question

15．如图，AD是圆O的直径，AE⊥BC，且AB=3，AC=2，AD=6．
（1）求证：AB•AC=AD•AE；
（2）求BE的值．

Answer 1

分析 （1）利用两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出比例证明；
（2）求出AE=1，CD=4$\sqrt{2}$，可得tan∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，tan∠ABE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，即可求BE的值．

解答 （1）证明：由圆周角定理可知，∠ACE=∠ADB，
∵AD是圆O的直径，AE⊥BC，
∴∠ABD=∠AEC=90°，
∴△ADB∽△ACE．
∴AB：AE=AD：AC，
∴AB•AC=AE•AD．
（2）解：∵AB=3，AC=2，AD=6，AB•AC=AE•AD
∴AE=1，CD=4$\sqrt{2}$，
∴tan∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴tan∠ABE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{1}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴BE=2$\sqrt{2}$．

点评 乘积的形式通常可以转化成比例的形式，通过证明三角形相似得出结论．