题目内容
10.已知ABCD是直角梯形,AB=AD,AD∥BC,AB⊥BC,CD⊥BD,把△ABD沿BD折起,使平面A′BD⊥面BCD.(1)求证:平面A′BD⊥面A′DC;
(2)求A′D与BC所成的角.
分析 (1)由已知条件推导出CD⊥平面A′BD,由此能证明平面A′BD⊥面A′DC.
(2)由AD∥BC,得∠AA′D是A′D与BC所成的角,由已知条件推导出△AA′D是等边三角形,由此能求出A′D与BC所成的角为60°.
解答 (1)证明:∵ABCD是直角梯形,AB=AD,AD∥BC,AB⊥BC,CD⊥BD,
把△ABD沿BD折起,使平面A′BD⊥面BCD,
∴CD⊥平面A′BD,
∵CD?平面A′DC,∴平面A′BD⊥面A′DC.
(2)解:∵AD∥BC,∴∠AA′D是A′D与BC所成的角,
设AB=AD=1,∵AB⊥BC,CD⊥BD,平面A′BD⊥面A′DC,
把△ABD沿BD折起,使平面A′BD⊥面BCD,
∴AD=AB=A′D=A′B=1,∴DC=DB=$\sqrt{2}$,∴BC=2,
作AO⊥BD,交BD于O,则A′O⊥BD,
AO=A′O=$\frac{1×1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,AO⊥A′O,
∴AA′=$\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}$=1,
∴△AA′D是等边三角形,∴∠AA′D=60°,
∴A′D与BC所成的角为60°.
点评 本题考查面面垂直的证明,考查异面直线所成角的求法,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.
练习册系列答案
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