Question

4．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是CD，CC₁的中点，给出下列命题：
（1）直线ND与直线AB所成角的正切值为$\frac{1}{2}$；
（2）直线A₁M与直线AB所成角的正切值为2$\sqrt{2}$；
（3）直线ND与直线A₁M垂直，以上命题正确的是（1），（2），（3）．

Answer 1

分析 对于（1），由于AB∥CD，∠NDC即为直线ND与直线AB所成角，解直角△NCD，即可判断；
对于（2），连接A₁D，可得∠A₁MD即为直线A₁M与直线AB所成角，由线面垂直的性质，解直角三角形，即可判断；
（3）可通过空间向量的数量积，计算即可判断．

解答 解：（1）由于AB∥CD，∠NDC即为直线ND与直线AB所成角，在直角△NCD中，tan∠NDC=$\frac{NC}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
故（1）正确；
（2）连接A₁D，可得∠A₁MD即为直线A₁M与直线AB所成角，易得CD⊥A₁D，设正方体的边长为2，
则tan∠A₁MD=$\frac{{A}_{1}D}{MD}$=$\frac{2\sqrt{2}}{1}$=2$\sqrt{2}$，故（2）正确；
（3）设正方体的边长为2，
$\overrightarrow{ND}$=$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CN}$=-$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
则$\overrightarrow{ND}$•$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{A}_{1}}$-$\overrightarrow{AD}$•$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$²
=0-$\frac{1}{2}×4$+0-0-0+$\frac{1}{2}$×4=0，
故直线ND与直线A₁M垂直，故（3）正确．
故答案为：（1），（2），（3）．

点评 本题考查命题的真假判断和运用，主要考查空间异面直线所成角的求法，同时考查线面垂直的判断和性质，属于中档题．