Question

【题目】已知函数，，，其中为正实数，为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使得对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，，使得成立？若存在，求出正实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为与，单调递减区间为与；（2）存在，.

【解析】

（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；

（2）由（1）求出的图象与在区间上至少有两个交点的的取值范围，函数的值域就是这个范围的子集．由此可得．

解：（1），.

当，即时，或，

当，即时，或.

∴函数的单调递增区间为与，单调递减区间为与.

（2）由（1）可知，函数有两个极小值，，，

存在一个极大值大致作出函数图像（只反映单调性）可知：

对于函数，，假设存在满足题意的实数.

当时，由，得.

由题意，解得.

所以，实数的取值范围是.