题目内容
【题目】已知直线与抛物线
:
交于
,
两点,且
的面积为16(
为坐标原点).
(1)求的方程.
(2)直线经过
的焦点
且
不与
轴垂直,
与
交于
,
两点,若线段
的垂直平分线与
轴交于点
,试问在
轴上是否存在点
,使
为定值?若存在,求该定值及
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在,
【解析】
(1)将代入
,得
,即可表示出
的面积,计算可得
.
(2)设直线的方程为
,联立直线与曲线方程,根据焦点弦长公式计算出
,求出线段
的垂直平分线与
轴交于点
的坐标,设
,则
可用含
,
的式子表示,即可分析当
为何值是
为定值.
解:(1)将代入
,得
,
所以的面积为
.
因为,所以
,
故的方程为
.
(2)由题意设直线的方程为
,
由得
.
设,
,则
,
所以.
因为线段的中点的横坐标为
,纵坐标为
,
所以线段的垂直平分线的方程为
,
令,得
,所以
的横坐标为
,
设,则
,
,
所以当且仅当,即
时,
为定值,且定值为2,故存在点
,且
的坐标为
.
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