Question

18．在平面几何里，“若CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，则$\frac{1}{{C{D^2}}}=\frac{1}{{C{A^2}}}+\frac{1}{{C{B^2}}}$．”拓展到空间，研究三棱锥的高与侧棱间的关系，可得出的正确结论是：“若三棱锥A-BCD的三侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，AO是三棱锥A-BCD的高，则$\frac{1}{{A{O^2}}}=\frac{1}{{A{B^2}}}+\frac{1}{{A{C^2}}}+\frac{1}{{A{D^2}}}$”．

Answer 1

分析 立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面?空间，点?点或直线，直线?直线或平面，平面图形?平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．

解答 解：若CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，则$\frac{1}{{C{D^2}}}=\frac{1}{{C{A^2}}}+\frac{1}{{C{B^2}}}$，
∵AO是三棱锥A-BCD的高，三棱锥A-BCD的三侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，
∴类比可得$\frac{1}{{A{O^2}}}=\frac{1}{{A{B^2}}}+\frac{1}{{A{C^2}}}+\frac{1}{{A{D^2}}}$．
故答案为：$\frac{1}{{A{O^2}}}=\frac{1}{{A{B^2}}}+\frac{1}{{A{C^2}}}+\frac{1}{{A{D^2}}}$．

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较 联想、类推猜测新的结论．