Question

3．已知函数f（x）=x³+ax+b的图象关于坐标原点对称，且与x轴相切．
（1）求实数a，b的值．
（2）是否存在正实数m，n，使函数g（x）=3-|f（x）|在区间[m，n]上的值域仍为[m，n]？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，说明函数是奇函数，求出b的值，利用函数与x轴相切，求出a的值即可；
（2）假设存在正实数m，n满足题意，因g（x）=3-x³在区间[m，n]上是减函数，利用$\left\{\begin{array}{l}{g（m）=n}\\{g（n）=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{3}+n=3}\\{{n}^{3}+m=3}\end{array}\right.$，两式相减，结合基本不等式，即可得到与条件矛盾，此时m，n不存在．

解答 解：（1）由f（x）的图象关于坐标原点对称，
即有f（-x）=-f（x）可得b=0，
设曲线C与x轴切于T（t，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{f（t）=0}\\{f′（t）=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{3}+at=0}\\{3{t}^{2}+a=0}\end{array}\right.$⇒a=t=0⇒f（x）=x³．
（2）假设存在正实数m，n满足题意．
因g（x）=3-x³在区间[m，n]上是减函数，
故$\left\{\begin{array}{l}{g（m）=n}\\{g（n）=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{3}+n=3}\\{{n}^{3}+m=3}\end{array}\right.$，
两式相减可得m²+mn+n²=1⇒（m+n）²-mn=1，
由于mn＜$\frac{（m+n）^{2}}{4}$⇒（m+n）²-$\frac{（m+n）^{2}}{4}$＜1⇒m+n＜$\frac{2}{\sqrt{3}}$．
由0＜m＜n，⇒m＜$\frac{1}{\sqrt{3}}$，n＜$\frac{2}{\sqrt{3}}$⇒m³+n＜$\frac{7}{3\sqrt{3}}$＜3，与条件矛盾，
此时m，n不存在．

点评 本题考查函数的导数与曲线的切线方程的求法，函数的零点，函数的值域的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．