Question

13．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，奇数项成公差为1的等差数，当n为偶数时点（a_n，a_n+2）在直线y=3x+2上，又知a₁=1，a₂=2，则数列{a_n}的前2n项和S_2n等于（　　）

• A． n²-n-6+3ⁿ⁺¹
• B． $\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$
• C． $\frac{4{n}^{2}-2n-23+{3}^{2n+1}}{2}$
• D． $\frac{{n}^{2}-n-3+{3}^{n+1}}{2}$

Answer 1

分析 首先把数列的前2n项分为奇数项和偶数项，进一步分组求和，奇数项直接利用等差数列的前n项和公式求出结果，偶数项首先利用构造新数列法求出数列的通项公式，进一步求出偶数项的前n项和，最后求出结果．

解答 解：正项数列{a_n}奇数项成公差为1的等差数列，
所以：数列{a_n}的前2n项，奇数项和偶数项都为n项，
则：前n项奇数项的和为：S_n=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
由于n为偶数时点（a_n，a_n+2）在直线y=3x+2上，
所以：a_n+2=3a_n+2，
整理得：$\frac{{a}_{n+2}+1}{{a}_{n}+1}=3$，
所以：数列{a_n+2+1}是以a₂+1为首项，3为公比的等比数列，
求得：${a}_{2n}={3}^{n}-1$，
则：前n项的偶数项的和为：S_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n．
所以：S_2n=S_奇数+S_偶数
=$\frac{n（n+1）}{2}$+3¹+3²+…+3ⁿ-n
=$\frac{n（n+1）}{2}+\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}-n$
=$\frac{{n}^{2}-n-3+{3}^{n+1}}{2}$
故选：D

点评 本题考查的知识要点：等差数列前n项和公式的应用，利用构造新数列法求数列的通项公式，进一步利用分组求和法求数列的前n项和，主要考查学生的应用能力．