Question

18．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+4y-16≤0}\\{3x+y-15≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$，且z=ax+y的最大值为7，则a的值为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{7}{5}$
• D． -$\frac{7}{5}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
则A（0，4），B（4，3），C（5，0）
若z=ax+y过A时取得最大值为7，则z=4≠7，不满足条件．
若z=ax+y过C时取得最大值为7，则5a=7，解得a=$\frac{7}{5}$，
此时，目标函数为z=$\frac{7}{5}$x+y，
即y=-$\frac{7}{5}$x+z，此时目标函数的斜率k=-$\frac{7}{5}$，BC的斜率为-3，
则-$\frac{7}{5}$＞-3，不满足条件．
若若z=ax+y过B时取得最大值为7，则4a+3=7，解得a=1，
此时目标函数为z=x+y，
即y=-x+z，平移直线y=-x+z，当直线经过B时，截距最大，此时z最大为7，满足条件，
综上a=1，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．