题目内容
3.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a2015=a2014+2a2013,若数列中存在两项am,an,使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a1,则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为( )A. | $\frac{3}{2}$ | B. | $\frac{5}{3}$ | C. | $\frac{25}{6}$ | D. | 不存在 |
分析 由a2015=a2014+2a2013,求得q=2,代入$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a1,求得m+n=6,利用基本不等式求出它的最小值.
解答 解:由各项均为正数的等比数列{an}满足a2015=a2014+2a2013,
可得a2013q2=a2013q+2a2013,
∴q2-q-2=0,∴q=2.
∵$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a1,
∴qm+n-2=16,∴2m+n-2=24,
∴m+n=6,
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$(m+n)($\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$)=$\frac{1}{6}$(5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$)≥$\frac{1}{6}$(5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$)=$\frac{3}{2}$,
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$时,等号成立.
故$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值等于$\frac{3}{2}$,
故选:A.
点评 本题主要考查等比数列的通项公式,基本不等式的应用,属于中档题.
练习册系列答案
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已知y关于x的线性回归方程为$\widehat{y}$=0.7x+0.35,根据上表提供的数据,
(1)求表中实数m的值;
(2)求样本点的中心坐标;
(3)若该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | m | 4 | 4.5 |
(1)求表中实数m的值;
(2)求样本点的中心坐标;
(3)若该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
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A. | 1 | B. | -1 | C. | $\frac{7}{5}$ | D. | -$\frac{7}{5}$ |
12.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,在△ABC内随机取一点P,则点P位于△ABC的内切圆内的概率为( )
A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{π}{6}$ | D. | $\frac{π}{4}$ |
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A. | (3,6) | B. | (-∞,3) | C. | (3,+∞) | D. | (4,+∞) |