Question

20．已知α，β，γ是锐角，sinα+sinβ=sinγ，cosα+cosβ=cosγ，求α-γ的值．

Answer 1

分析 首先，根据已知，得到sinβ=sinγ-sinα，①cosβ=cosγ-cosα，②，然后，两个式子平方相加，得到所求的值．

解答 解：∵sinα+sinβ=sinγ，cosα+cosβ=cosγ，
∴sinβ=sinγ-sinα，①
cosβ=cosγ-cosα，②
①²+②²，得
2-2（sinαsinγ+cosαcosγ）=1
∴cos（α-γ）=$\frac{1}{2}$，
∵0$＜α＜\frac{π}{2}$，0$＜γ＜\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{2}$＜α-γ＜$\frac{π}{2}$，
∴$α-γ=±\frac{π}{3}$．
∵α，β，γ是锐角，且cosα+cosβ=cosγ，
∴推知γ为最小的锐角，
∴γ-α＜0，
∴α-γ＞0，
∴$α-γ=\frac{π}{3}$．

点评 本题重点考查了同角三角函数基本关系式、两角差的余弦公式等知识，属于中档题．