Question

15．求函数f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的最小值．

Answer 1

分析 $\sqrt{（x-1）^{2}+1}$的几何意义是点A（1，1）与点C（x，0）的距离，$\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的几何意义是点B（4，-3）与点C（x，0）的距离，结合图形即可解得．

解答 解：$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$的几何意义是点A（1，1）与点C（x，0）的距离，
$\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的几何意义是点B（4，-3）与点C（x，0）的距离，
故函数f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的几何意义是线段AC与线段BC之和，如右图；
故当A、B、C三点共线时，
函数f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+9}$有最小值$\sqrt{（1-4）^{2}+（1+3）^{2}}$=5，
故函数f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+9}$的最小值为5．

点评 本题考查了几何意义的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．