题目内容
【题目】已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,过F的直线l与C交于A,B两点,M为AB中点,点M到x轴的距离为d,|AB|=2d+1.
(1)求p的值;
(2)过A,B分别作C的两条切线l1 , l2 , l1∩l2=N.请选择x,y轴中的一条,比较M,N到该轴的距离.
【答案】
(1)解:设抛物线C的准线为m,如图,过A,B,M分别作直线m的垂线,垂足分别为A1,B1,M1.
,
所以 ,所以p=1
(2)解:由(1)得,抛物线 ,
因为直线l不垂直于x轴,可设 .
由 ,消去y得,x2﹣2kx﹣1=0,
由韦达定理得, ,
所以 .
抛物线C:x2=2y,即 ,故y'=x,
因此,切线l1的斜率为x1,切线l1的方程为y=x1(x﹣x1)+y1,
整理得 ①,
同理可得 ②,
联立①②并消去y,得 ,
把 代入①,得
,故
.
因为xM=xN, ,
所以M,N到y轴的距离相等;M到x轴的距离不小于N到x轴的距离.
(注:只需比较M,N到x轴或y轴的距离中的一个即可)
【解析】(1)利用抛物线的定义,建立方程,即可得出结论;(2)判断xM=xN, ,即可得出结论.
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