Question

20．已知数列{a_n}的前项和为S_n且满足2S_n=pa_n-2n，n∈N^*，其中常数p＞2．
（1）求证：{a_n+1}是等比数列；
（2）若a₂=3，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）当n＞1时利用2a_n=2S_n-2S_n-1计算、整理可知（p-2）a_n-pa_n-1-2=0，变形可知a_n+1=$\frac{p}{p-2}$（a_n-1+1），进而可知数列{a_n+1}是以首项、公比均为$\frac{p}{p-2}$的等比数列；
（2）通过（1）可知a_n+1=$（\frac{p}{p-2}）^{n}$，利用a₂=3可知p=4，进而可得结论．

解答 （1）证明：依题意，当n＞1时，2a_n=2S_n-2S_n-1
=pa_n-2n-[pa_n-1-2（n-1）]
=pa_n-pa_n-1-2，
∴（p-2）a_n-pa_n-1-2=0，
整理得：a_n+1=$\frac{p}{p-2}$（a_n-1+1），
又∵2S₁=pa₁-2，即a₁=$\frac{2}{p-2}$，
∴a₁+1=$\frac{2}{p-2}$+1=$\frac{p}{p-2}$，
∴数列{a_n+1}是以首项、公比均为$\frac{p}{p-2}$的等比数列；
（2）由（1）可知a_n+1=$（\frac{p}{p-2}）^{n}$，
又∵a₂=3，
∴a₂+1=$（\frac{p}{p-2}）^{2}$=4，
∴$\frac{p}{p-2}$=±2，
解得：p=4或$\frac{4}{3}$（舍），
∴$\frac{p}{p-2}$=2，a_n+1=2ⁿ，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-1．

点评 本题考查等比数列的判定及数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．