Question

11．设任意实数x，y满足|x|＜1，|y|＜1，求证：$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{1-{y}^{2}}$≥$\frac{2}{1-xy}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{1}{1-{x}^{2}}$，$\frac{1}{1-{y}^{2}}$），$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{1}{1-{y}^{2}}$，$\frac{1}{1-{x}^{2}}$），夹角为θ（0≤θ≤π），利用向量的数量积公式，结合基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：设$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{1}{1-{x}^{2}}$，$\frac{1}{1-{y}^{2}}$），$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{1}{1-{y}^{2}}$，$\frac{1}{1-{x}^{2}}$），夹角为θ（0≤θ≤π），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{（1-{x}^{2}）（1-{y}^{2}）}$=（$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{1-{y}^{2}}$）cosθ≤$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{1-{y}^{2}}$，
∵（1-x²）（1-y²）=1+x²y²-（x²+y²）≤1-xy，
∴$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{1-{y}^{2}}$≥$\frac{2}{1-xy}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查向量法、基本不等式的运用，正确构造向量是关键．