Question

12．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{（a+4）^{2}}$=1（a＞0）的离心率的最大值是$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

Answer 1

分析 由题意得到椭圆的长半轴长和短半轴长，从而求得c²，然后利用判别式法求得e²的范围，进一步求得e的最大值．

解答 解：∵a＞0，∴（a+4）²-a²-1=8a+15＞0，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{（a+4）^{2}}$=1（a＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，
∴c²=8a+15，
则${e}^{2}=\frac{8a+15}{（a+4）^{2}}=\frac{8a+15}{{a}^{2}+8a+16}$，
∴e²a²+8（e²-1）a+16e²-15=0．
由△=64（e²-1）²-4e²（16e²-15）≥0，得$-\frac{4\sqrt{17}}{17}≤e≤\frac{4\sqrt{17}}{17}$．
∵e＞0，0$＜e≤\frac{4\sqrt{17}}{17}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了利用判别式法求函数的值域，是中档题．