题目内容
3.已知函数f(x)=ex+sinx-ax(Ⅰ)求使得x=0成为f(x)极值点的a的值;
(Ⅱ)当a∈(0,2],x∈[0,+∞)时,求f(x)最小值.
分析 (Ⅰ)先利用导数公式和导数四则运算计算函数f(x)的导函数f′(x),再利用函数极值的意义,令f′(0)=0即可解得a的值;
(Ⅱ)求出f(x)的导数,令h(x)=f′(x),求得h(x)的导数,由x的范围,判断h(x)的单调性,进而得到h(x)的最小值,由条件可得最小值大于0,进而得到f(x)递增,可得f(x)的最小值为f(0).
解答 解:(Ⅰ)函数f(x)=ex+sinx-ax的导函数f′(x)=ex+cosx-a,
∵x=0是f(x)的极值点,∴f′(0)=1+1-a=0,
解得a=2.
又当a=2时,x<0时,f′(x)=ex+cosx-2<0,
x>0时f′(x)=ex+cosx-2>0,
∴x=0是f(x)的极小值点
∴a=2成立;
(Ⅱ)f(x)的导数f′(x)=ex+cosx-a,令h(x)=ex+cosx-a,
h′(x)=ex-sinx,由于x∈[0,+∞),ex≥1,sinx∈[-1,1],
即有h′(x)≥0,h(x)在[0,+∞)递增,即有h(x)≥h(0)=2-a,
又a∈(0,2),则2-a>0,即有h(x)>0,
则f′(x)>0,即有f(x)在[0,+∞)递增,
故f(x)min=f(0)=e0+0-0=1.
点评 本题综合考查了导数运算,导数与函数极值间的关系,利用导数研究函数的单调性进而求得最值,属于中档题.
练习册系列答案
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