Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n为正整数）．
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₂a₁+log₂$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+log₂$\frac{{a}_{n}}{n}$，设数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为T_n，是否存在实数M，使得T_n≤M对一切正整数都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，S₁=2a₁-2²+2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2ⁿ⁺¹+2-（2a_n-1-2ⁿ+2）从而可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1；$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=1；从而证明；再求{a_n}的通项公式；
（2）化简b_n=log₂a₁+log₂$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+log₂$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{（n+1）n}{2}$，从而可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{（n+1）n}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）；利用裂项求和法得T_n=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$；从而化为$\frac{2n}{n+1}$≤M对一切正整数n都成立；从而解得．

解答 解：（1）证明：①当n=1时，S₁=2a₁-2²+2，
解得，a₁=2；
②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=2a_n-2ⁿ⁺¹+2-（2a_n-1-2ⁿ+2）
即a_n-2a_n-1-2ⁿ=0，
即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1；$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=1；
∴{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列；
即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，故a_n=n×2ⁿ．
（2）b_n=log₂a₁+log₂$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+log₂$\frac{{a}_{n}}{n}$
=1+2+3+…+n=$\frac{（n+1）n}{2}$，
$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{（n+1）n}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）；
T_n=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$；
故$\frac{2n}{n+1}$≤M对一切正整数n都成立；
故M≥2；
故M的最小值为2．

点评 本题考查了等差数列的判断与证明，同时考查了裂项求和法的应用，属于中档题．