题目内容
【题目】如图,三棱柱中,侧面
为菱形,
.
(1)求证:平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)根据菱形性质可知,结合
可得
,进而可证明
,即
,即可由线面垂直的判定定理证明
平面
;
(2)结合(1)可证明两两互相垂直.即以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长度,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得平面
和平面
的法向量,即可求得二面角
的余弦值.
(1)证明:设,连接
,如下图所示:
∵侧面为菱形,
∴,且
为
及
的中点,
又,则
为直角三角形,
,
又,
,即
,
而为平面
内的两条相交直线,
平面
.
(2)
平面
,
平面
,
,即
,
从而两两互相垂直.
以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长度,建立如图的空间直角坐标系
,
为等边三角形,
,
,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
∴可取,
设平面的法向量为
,则
.
同理可取
,
由图示可知二面角为锐二面角,
∴二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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