题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知向量
,
,且
.记动点
的轨迹为
.
(1)求的方程;
(2)已知直线过坐标原点,且与(1)中的轨迹
交于
两点,
在第三象限,且
轴,垂足为
,连接
并延长交
于点
,求
的面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由、
推出
,可知
的轨迹是以
,
为焦点,4为长轴的椭圆,写出椭圆的标准方程即可;(2)设直线
的方程为
,与椭圆方程联立求出M、N、H的坐标及直线HN的方程,直线HN的方程与椭圆方程联立求出Q点坐标从而求出
面积的表达式,利用导数研究面积的最大值.
(1)设,
,
则,
.
因为,所以
,
由椭圆的定义可知的轨迹是以
,
为焦点,4为长轴的椭圆.
故的方程为
.
(2)由题意可知直线的斜率一定存在,设直线
的方程为
(
),
与椭圆联立可得
,
所以,
,
.
点的坐标为
,直线
的方程为
,
代入,可得
,
所以.
因为,所以
,
的坐标为
,
于是,所以
,即
.
因为,
.
所以.
令,
,
由,可得
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
因此当时,函数
有最大值,最大值为
,即
的最大值为
.
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