Question

【题目】如图，在四棱柱中，侧面底面，底面为直角梯形，其中，，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接，证明四边形为平行四边形，所以，所以平面；（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，利用两个半平面的法向量求得二面角的余弦值为.

试题解析：

（1）证明：

如图，连接，则四边形为正方形，所以，且，．．．．2分

故四边形为平行四边形，所以，

又平面平面，

所以平面．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）因为为的中点，所以，又侧面底面，

交线为，故底面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，

则，

∴，

设为平面的一个法向量，由，得，

令，则，∴．

又设为平面的一个法向量，由，得，令，

则，∴，．．．．．．．．．．．．．9分

则，故所求锐二面角的余弦值为．．．．．．．．．12分

注：第2问用几何法做的酌情给分．