题目内容

6.在△ABC中,ABAB=a+kbAC=ka+b,其中k∈R,且|a|=1,|b|=2,ab的夹角为120°对于以下结论:
①|a$+$b|=3
②若点D是边BC的中点,则AD=k+12a+b);
③若∠A为直角,则k=5±212
④若∠A为钝角,则k<5212且k≠-1或k>5+212
⑤若∠A为锐角,则5212<k<5+212
其中所有正确命题的序号是①②③④⑤ (把你认为正确命题的序号都填上).

分析 由条件利用两个向量的加减法及其几何意义,两个向量的数量积的定义和公式,一元二次不等式的解法,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论.

解答 解:由题意可得,|a|=1,|b|=2,ab=1×2×cos120°=-1,
∴|a$+$b|=a+b2=a2+2ab+b2=12+4=3,故①正确.
若点D是边BC的中点,由AB=a+kbAC=ka+b,可得AD=AB+AC2=k+12a+b),故②正确.
若∠A为直角,则ABAC=(a+kb)•(ka+b )=k(a2+b2)+(k2+1)ab=-k2+5k-1=0,求得k=5±212,故③正确.
若∠A为钝角,则ABAC=(a+kb)•(ka+b )=k(a2+b2)+(k2+1)ab=-k2+5k-1<0,求得k<5212 或k>5+212,故④正确.
若∠A为锐角,则ABAC=(a+kb)•(ka+b )=k(a2+b2)+(k2+1)ab=-k2+5k-1>0,求得5212k<5+212,故⑤正确.
故答案为:①②③④⑤.

点评 本题主要考查平面向量的数量积、夹角、运算法则,一元二次不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于中档题.

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