Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F₁，F₂距离之和为4$\sqrt{2}$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l的斜率为$\frac{1}{2}$，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=$4\sqrt{2}$，得$a=2\sqrt{2}$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}⇒c=\sqrt{6}$，于是$b=\sqrt{2}$，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为$y=\frac{1}{2}x+m$，把其与椭圆的方程联立，求出弦长$|{AB}|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}×\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$，即为
△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB的高$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}=\frac{2|m|}{{\sqrt{5}}}$，然后用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由条件得：$\left\{{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，解得$a=2\sqrt{2}，c=\sqrt{6}，b=\sqrt{2}$，
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$
（2）设l的方程为$y=\frac{1}{2}x+m$，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+m\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$消去y得x²+2mx+2m²-4=0．
令△=4m²-8m²+16＞0，解得|m|＜2，由韦达定理得${x_1}+{x_2}=-2m，{x_1}{x_2}=2{m^2}-4$．
则由弦长公式得|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{（-2m）^{2}-4（2{m}^{2}-4）}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{4-{m}^{2}}$．
又点P到直线l的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}}=\frac{2|m|}{{\sqrt{5}}}$，
∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{2}×\frac{2|m|}{{\sqrt{5}}}×\sqrt{5（4-{m^2}）}=\sqrt{{m^2}（4-{m^2}）}≤\frac{{{m^2}+4-{m^2}}}{2}=2$，
当且仅当m²=2，即$m=±\sqrt{2}$时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．

点评 本题考查待定系数法求椭圆的标准方程；韦达定理、弦长公式及利用基本不等式求最值．考查分析问题解决问题到哪里．