题目内容
【题目】设,曲线
在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求的值;
(2)若对于任意的,
恒成立,求
的取值范围;
(3)求证: .
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)详见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求导数,再根据导数几何意义列方程,解方程可得的值;(Ⅱ)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题,本题去分母转化为差函数:
,因为
,所以
最大值不小于
,根据
导函数符号可得
才满足条件.(Ⅲ)不等式证明中涉及求和问题,一般方法为适当放缩,再利用裂项相消法给予证明.本题由(Ⅱ)知,当
时,
时,
成立,所以放缩这一难点已暗示,下面只需令
得
,即
,最后叠加可得证.
试题解析:(Ⅰ)
由题设,∴
.
(Ⅱ),
,
,即
设,即
.
①若,
,这与题设
矛盾
②若当
,
单调递增,
,与题设矛盾.
③若当
,
单调递减,
,即不等式成立
综上所述, .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,
时,
成立.
不妨令所以
,
…………
累加可得
∴
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