题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
是直角梯形,
,
,
,侧面
底面
,且
是以
为底的等腰三角形.
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若四棱锥的体积等于
.问:是否存在过点
的平面
分别交
,
于点
,使得平面
平面
?若存在,求出
的面积;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析: (Ⅰ)取的中
,连接
,由三角形
是等腰三角形,则
,又
,可得
,从而证出
,可得
; (Ⅱ)取
中点
,连接
,可证明四边形
为平行四边形,进一步证明
,可得三角形
是直角三角形,由三角形面积公式可得面积.
试题解析:(Ⅰ)证明:取的中点
,连接
,
∵,
∴.
∵且
,
∴是正三角形,且
,
又∵,
平面
∴平面
,且
平面
∴
(Ⅱ)解:存在,理由如下:
分别取的中点
,连接
,则
;
∵是梯形,
且
,
∴且
,则四边形
为平行四边形,
∴
又∵平面
,
平面
∴平面
,
平面
且
平面
,
∴平面平面
∵侧面,且平面
平面
由(Ⅰ)知,平面
,若四棱锥
的体积等于
,
则,所以
在和
中,
∴,则
∴是直角三角形,则
.
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