题目内容
已知函数f(x)=ax3+(a-2)x+c的图象如图所示.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若g(x)=-2ln x在其定义域内为增函数,求实数k的取值范围.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若g(x)=-2ln x在其定义域内为增函数,求实数k的取值范围.
(1)f(x)=x3-x+3
(2)[1,+∞)
(2)[1,+∞)
(1)∵f′(x)=ax2+a-2,
由图可知函数f(x)的图象过点(0,3),且f′(1)=0.
得即
∴f(x)=x3-x+3.
(2)∵g(x)=-2ln x=kx--2ln x,
∴g′(x)=k+-=.
∵函数y=g(x)的定义域为(0,+∞),
∴若函数y=g(x)在其定义域内为单调增函数,则函数g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即kx2+k-2x≥0在区间(0,+∞)上恒成立.
即k≥在区间(0,+∞)上恒成立.
令h(x)=,x∈(0,+∞),
则h(x)==≤1(当且仅当x=1时取等号).
∴k≥1.
∴实数k的取值范围是[1,+∞).
由图可知函数f(x)的图象过点(0,3),且f′(1)=0.
得即
∴f(x)=x3-x+3.
(2)∵g(x)=-2ln x=kx--2ln x,
∴g′(x)=k+-=.
∵函数y=g(x)的定义域为(0,+∞),
∴若函数y=g(x)在其定义域内为单调增函数,则函数g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即kx2+k-2x≥0在区间(0,+∞)上恒成立.
即k≥在区间(0,+∞)上恒成立.
令h(x)=,x∈(0,+∞),
则h(x)==≤1(当且仅当x=1时取等号).
∴k≥1.
∴实数k的取值范围是[1,+∞).
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