题目内容
【题目】已知斜率为1的直线交抛物线:
(
)于
,
两点,且弦
中点的纵坐标为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)记点,过点
作两条直线
,
分别交抛物线
于
,
(
,
不同于点
)两点,且
的平分线与
轴垂直,求证:直线
的斜率为定值.
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】
(1)涉及中点弦,用点差法处理即可求得,进而求得抛物线方程;
(2)由的平分线与
轴垂直,可知直线
,
的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设
,直线
,则直线
分别和抛物线方程联立, 解得
利用
,结合直线方程,即可证得直线
的斜率为定值.
(1)设,则
,两式相减,得:
由弦
中点的纵坐标为2,得
,故
.所以抛物线
的标准方程
.
(2)由的平分线与
轴垂直,可知直线
,
的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设
直线
由
得
由点
在抛物线
上,可知上述方程的一个根为
.即
,同理
.
直线
的斜率为定值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“网购”已经成为我们日常生活中的一部分,某地区随机调查了100名男性和100名女性在“双十一”活动中用于网购的消费金额,数据整理如下:
男性消费金额频数分布表
消费金额 (单位:元) | 0~500 | 500~1000 | 1000~1500 | 1500~2000 | 2000~3000 |
人数 | 15 | 15 | 20 | 30 | 20 |
(1)试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额;
(2)如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过200元的消费称作理性消费,试问是否有5成以上的把握认为理性消费与性别有关.
附:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
【题目】在创建“全国卫生文明城”的过程中,环保部门对某市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如下表所示.
组别 | |||||||
频数 | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(Ⅰ)已知此次问卷调查的得分服从正态分布
,
近似为这1000人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),请利用正态分布的知识求
;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(i)得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于
的可以获赠1次随机话费;
(ii)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查,记为该市民参加问卷调查获赠的话费,求
的分布列及数学期望.
赠送的随机话费(单位:元) | 20 | 40 |
概率 |
附:若,则
,
,
.