题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点,直线
过点
且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直于直线
于点
,线段
的中垂线交
于点
.记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程,并说明
是什么曲线;
(2)若直线与曲线
交于两点
、
,则在圆
上是否存在两点
、
,使得
,
?若存在,请求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
是以
为焦点,
为准线的抛物线(2)存在;
【解析】
(1)根据题意可得,再根据抛物线的定义即可求出曲线
的方程.
(2)将直线与曲线
:
联立,由直线
与曲线
交于点
,
,
,利用韦达定理可得
,从而求出
的中垂线方程,由
,
,可得
的中垂线与圆
交于两点
、
,利用点到直线的距离公式使圆心到直线的距离小于半径即可求解.
(1)由题意,得,则动点
的轨迹是以
为焦点,
为准线的抛物线,所以点
的轨迹
的方程为
.
(2)由得
.
由直线与曲线
交于点
,
,
得,解得
.
由韦达定理,得.
设的中点为
,
则,
,
即,
所以的中垂线方程为
,即
,
由,
,得
的中垂线与圆
交于两点
、
,
所以,解得
.
由①和②,得.
综上,当时,圆
上存在两点
、
,使得
,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?
(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出10人,进行体育锻炼体会交流,
(i)求这10人中,男生、女生各有多少人?
(ii)从参加体会交流的10人中,随机选出2人作重点发言,记这2人中女生的人数为,求
的分布列和数学期望.
参考公式:,其中
.
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |