题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)若函数在
处取得极值,求实数
的值;
(2)在(1)的结论下,若关于的不等式
,当
时恒成立,求
的值;
(3)令,若关于
的方程
在
内至少有两个解,求出实数
的取值范围。
【答案】(1) ;(2)
;(3) 实数
的范围是
.
【解析】分析:(1)根据求得
;(2)由题意结合分离参数可得
对
恒成立,构造函数
,
,利用导数可得
,故得
,又
,所以得到
.
(3)由题意,令
,构造函数
,则由题意得可得方程
在区间
上只少有两个解.然后分类讨论可得实数
的范围是
.
详解:(1)∵,
∴,
又函数在
处取得极值,
∴,解得
.
经验证知满足条件,
∴.
(2)当时,
,
∴.
由题意得对
恒成立,
∴对
恒成立.
令,
,
则,
∴在
上单调递增,
∴,
∴,
又,
∴.
(3)由题意得,
令,设
则方程在区间
上只少有两个解,
又,
∴方程在区间
上有解,
由于,
①当时,
,函数
在
上是增函数,且
,
∴方程在区间上无解;
②当时,
,同①可得方程无解;
③当时,函数
在
上递增,在
上递减,且
,
要使方程在区间
上有解,则
,即
,
∴;
④当时,函数
在
上递增,在
上递减,且
,
此时方程在
内必有解;
⑤当时,函数
在
上递增,在
上递减,且
,
∴方程在区间
内无解.
综上可得实数的范围是
.
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