题目内容
【题目】设、
分别是椭圆
的左、右焦点.若
是该椭圆上的一个动点,
的最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,点
关于
轴的对称点为
(
与
不重合),则直线
与
轴是否交于一个定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】分析:(1)由题意可得,
,设
,根据
的最大值可得
,从而得到椭圆的方程.(2)将直线方程代入椭圆方程消去x后得到关于
的二次方程,设
,
,则
,则可得经过点
的直线方和为
,令
,结合根与系数的关系可得
,从而可得直线
与
轴交于定点
.
详解:(1)由题意得,
,
,
∴,
.
设,则
,
∵,
∴当,即点
为椭圆长轴端点时,
有最大值1,
即,解得
,
故所求的椭圆方程为.
(2)由得消去x整理得
,
显然.
设,
,则
,
故,
.
∴经过点,
的直线方和为
,
令,则
,
又,
,
∴,
即当.
∴直线与
轴交于定点
.
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