Question

【题目】已知离心率为的椭圆C：（a>b>0）的左焦点为，过作长轴的垂线交椭圆于、两点，且.

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）设O为原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.

Answer 1

【答案】（I） （II）.

【解析】

（Ⅰ）由题意可得关于a，b，c 的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；

（Ⅱ）设点A（t，2），B（x0，y0），①当t＝0时，直接求得|AB|；

②当t≠0时，，，则lOB：y，联立直线方程与椭圆方程，求得A，B的坐标，可得|AB|2，再由基本不等式求解．

（Ⅰ）由题意，，解得．

∴椭圆C的标准方程为；

（Ⅱ）设点A（t，2），B（x0，y0），

①当t＝0时，A（0，2），B（2，0），此时|AB|；

②当t≠0时，．

∵OA⊥OB，∴，则lOB：y．

联立，消去y可得．

∴，．

∴

．

当且仅当，即t＝0时取“＝”．

∵t≠0，∴|AB|．

综上所述，|AB|．

综上：线段AB长度的最小值为．