题目内容
【题目】已知椭圆:
的右焦点为
,过
作互相垂直的两条直线分别与
相交于
,
和
,
四点.
(1)四边形能否成为平行四边形,请说明理由;
(2)求的最小值.
【答案】(1)见解析.
(2).
【解析】
试题分析:(1)若四边形为平行四边形,则四边形
为菱形, ∴
与
在点
处互相平分,又
的坐标为
显然这时
不是平行四边形.
(2)直线的斜率存在且不为零时,设直线
的方程为
,与椭圆方程联立,消去
,利用韦达定理及弦长公式
,
令,则
.考虑当直线
的斜率不存在时和直线
的斜率为零时情况得到
的最小值
试题解析:设点
(Ⅰ)若四边形为平行四边形,则四边形
为菱形,
∴与
在点
处互相平分,又F的坐标为
,由椭圆的对称性知
垂直于
轴,则
垂直于
轴,
显然这时不是平行四边形.
∴四边形不可能成为平行四边形.
(Ⅱ) 当直线的斜率存在且不为零时,设直线
的方程为
由消去
得,
∴
∴同理得,
.∴
,
令,则
.
当直线的斜率不存在时,则
当直线的斜率为零时,则
,∴
的最小值为
.
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