题目内容
【题目】已知椭圆:的右焦点为,过作互相垂直的两条直线分别与相交于,和,四点.
(1)四边形能否成为平行四边形,请说明理由;
(2)求的最小值.
【答案】(1)见解析.
(2).
【解析】
试题分析:(1)若四边形为平行四边形,则四边形为菱形, ∴与在点处互相平分,又的坐标为显然这时不是平行四边形.
(2)直线的斜率存在且不为零时,设直线的方程为,与椭圆方程联立,消去,利用韦达定理及弦长公式,
令,则.考虑当直线的斜率不存在时和直线的斜率为零时情况得到的最小值
试题解析:设点
(Ⅰ)若四边形为平行四边形,则四边形为菱形,
∴与在点处互相平分,又F的坐标为,由椭圆的对称性知垂直于轴,则垂直于轴,
显然这时不是平行四边形.
∴四边形不可能成为平行四边形.
(Ⅱ) 当直线的斜率存在且不为零时,设直线的方程为
由消去得,
∴
∴同理得,.∴,
令,则.
当直线的斜率不存在时,则
当直线的斜率为零时,则
,∴的最小值为.
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